Wstęp
Zmienność jest jednym z ważniejszych pojęć współczesnych ?nansówi odgrywa ważną rolę zarówno w teorii ?nansów, jak i w zastosowaniachpraktycznych. Z punktu widzenia badań empirycznych kluczowe znaczeniemają pomiar i prognozowanie zmienności. Wyniki wielu analiz wskazują,że rozszerzanie modeli zmienności i formułowanie kolejnych parametryzacji,dążących do coraz lepszego dopasowania modelu do danych empirycznych,jest często mniej efektywne niż wykorzystanie informacji powszechnie dostępnychna rynku (np. Blair, Poon, Taylor 2001; Martens 2002; Doman, Doman 2004;Fiszeder 2009). Do takich danych można zaliczyć dzienne ceny minimalne,maksymalne i otwarcia, które dla większości aktywów są dostępne narówni z dziennymi cenami zamknięcia. W modelowaniu oraz prognozowaniuzmienności i zależności na rynkach finansowych wykorzystywane sąna ogół ceny zamknięcia instrumentów finansowych, tymczasem ceny minimalnei maksymalne znacząco zwiększają zasób informacji o kształtowaniu sięprocesów finansowych w ciągu dnia. Wartości minimalne i maksymalnebyły dużo wcześniej stosowane w takich dziedzinach, jak: meteorologia(np. do opisu warunków termicznych), hydrologia (np. do opisu poziomuwody), sozologia (np. do opisu stężeń zanieczyszczeń powietrza), energetyka(np. do określenia zapotrzebowania na moc), inżynieria (np. do kontrolijakości). Za jedno z pierwszych zastosowań cen minimalnych i cen maksymalnychw ?nansach można uznać pracę Benoît Mandelbrota (1971), w którejzakres cen, czyli różnicę między ceną maksymalną a minimalną, wykorzystanodo badania występowania długoterminowych zależności cen aktywówfinansowych. Ceny minimalne i maksymalne łącznie z cenami otwarcia i zamknięciabyły dużo wcześniej stosowane w analizie technicznej. Wykorzystywanesą one przez inwestorów między innymi do: prognozowania cen na rynkachfinansowych na podstawie analizy świec japońskich (metoda powstaław XVIII w. w Japonii) (Nison 1991; 1994), pomiaru zmienności [J. Welles Wilder (1978) wprowadził pojęcie prawdziwego zakresu zmian jako miaryzmienności, Stephen J. Taylor (1987) pokazał zaś, że wykorzystującceny minimalne i maksymalne do konstrukcji średnich ruchomych, możnauzyskać trafniejsze prognozy zmienności], pomiaru siły trendu za pomocąwskaźników ruchu kierunkowego (Wilder 1978).
Ze względu na to, że zakres cen jest miarą rozproszenia, podstawowezastosowanie cen minimalnych i maksymalnych w ?nansach dotyczy modelowaniai prognozowania zmienności. Szersze wykorzystanie cen minimalnych i maksymalnychw pracach naukowych rozpoczęło się w latach 80. XX w. Michael Parkinson (1980)jako pierwszy skonstruował estymator wariancji wyznaczony na podstawie cenminimalnych i maksymalnych, który jest prawie pięć razy efektywniejszy odklasycznego estymatora skonstruowanego na bazie cen zamknięcia (oznacza to, żewariancja estymatora klasycznego jest prawie pięć razy większa od wariancjiestymatora Parkinsona; patrz podrozdział 1.2). W kolejnych latach powstało wielealternatywnych estymatorów wariancji skonstruowanych na podstawie cen: otwarcia,minimalnych, maksymalnych i zamknięcia, których efektywność jest od ponadsześciu do nawet kilkunastu razy większa od klasycznego estymatora (np. Garman,Klass 1980; Rogers, Satchell 1991; Yang, Zhang 2000). Estymatory te sąokreślonymi transformacjami zakresów cen (zakresy cen mogą być obliczanemiędzy różnymi rodzajami cen, np. między ceną maksymalną a cenąotwarcia lub między ceną zamknięcia a ceną otwarcia), dlatego będą dalejnazywane estymatorami wariancji skonstruowanymi na podstawie zakresu cen.W tej pracy przedstawiono kilkanaście wybranych postaci estymatorówwariancji zbudowanych na podstawie zakresu cen. Mimo bardzo dobrychwłasności statystycznych estymatory te nie znalazły w początkowym okresielicznego zastosowania w badaniach naukowych ze względu na niemożnośćformułowania na ich podstawie wielookresowych dynamicznych prognozzmienności.
W ostatnich kilkunastu latach powstało wiele dynamicznych modeli zmiennościskonstruowanych na podstawie zakresu cen, jego transformacji lub estymatorówwariancji opartych na zakresie cen (np. Alizadeh, Brandt, Diebold 2002; Chou2005; Brandt, Jones 2006; Li, Hong 2011; Asai, Brugal 2012; Molnár 2016).W tym opracowaniu zaprezentowano ponad dwadzieścia jednowymiarowychspecyfikacji takich modeli. Ceny minimalne i maksymalne mogą być ponadtowykorzystywane nie tylko do budowy samego modelu, lecz także do konstrukcjifunkcji wiarygodności służącej do estymacji parametrów modelu (Lildholdt 2002;Venter, de Jongh, Griebenow 2005; Horst, Rodriguez, Gzyl, Molina 2012;Perczak, Fiszeder 2014; Fiszeder, Perczak 2016). Zastosowanie cen minimalnychi maksymalnych prowadzi na ogół do dokładniejszych szacunków zmienności oraztrafniejszych prognoz, a często także do otrzymania modelu, który opisujezmienność instrumentów finansowych w zdecydowanie odmienny sposób.Według modeli, do estymacji których zastosowano ceny minimalne i maksymalne,wpływ szoków w poprzednim okresie na bieżącą wariancję jest większy, a zatem szybsza jest reakcja na zmieniającą się sytuację rynkową (np. Wu, Liang 2011;Perczak, Fiszeder 2014; Fiszeder, Perczak 2016; Molnár 2016). Wiele pracaplikacyjnych dotyczących różnych zastosowań finansowych powstałopo wprowadzeniu modelu CARR (Chou 2005). Ze względu na stosunkowoprostą specy?kację i łatwość estymacji parametrów model ten stał sięnajpopularniejszym dynamicznym modelem zakresu cen. Jest on powszechniestosowany jako benchmark w stosunku do innych modeli skonstruowanychz zastosowaniem cen minimalnych i maksymalnych.
W aplikacjach finansowych bardzo rzadko zastosowanie jednowymiarowychmodeli, o których była mowa wyżej, okazuje się wystarczające. Portfeleinwestorów składają się z wielu aktywów, których stopy zwrotu są częstopowiązane i mają zmienne w czasie warunkowe wariancje. Analiza procesówwielowymiarowych jest konieczna na przykład przy konstrukcji i wycenie portfeliinstrumentów finansowych oraz zarządzaniu ich ryzykiem. Mimo przytłaczającychdowodów na to, że wykorzystanie cen minimalnych i maksymalnych prowadzi dodokładniejszych szacunków zmienności (patrz większość cytowań do modeliprzedstawionych w rozdziale drugim), jeszcze do niedawna wielowymiarowe modelezmienności konstruowane były prawie wyłącznie na podstawie cen zamknięcia.W ostatnich latach powstało kilkanaście specyfikacji modeli z zastosowaniem cenminimalnych i maksymalnych, wśród których najpopularniejszy jestmodel DCC zakresu (Chou, Wu, Liu 2009), stosowany najczęściej jakobenchmark w stosunku do innych wielowymiarowych modeli zmienności.Zdecydowana większość istniejących w literaturze specyfikacji wielowymiarowych,w których wykorzystuje się ceny minimalne i maksymalne, to modyfikacjemodelu DCC, w których w pierwszym kroku estymacji wykorzystuje sięjednowymiarowy model zmienności skonstruowany na bazie cen minimalnychi maksymalnych.
Zakres lub jego transformacja w postaci estymatorów zakresu są coraz częściejwykorzystywane jako miara zmienności ex post do oceny trafności dziennychprognoz zmienności wyznaczonych na podstawie modeli parametrycznych (np.Mapa 2003; Chou 2005; Liu, Hung 2010; Patton 2011). Stosowany do tego celukwadrat dziennej stopy zwrotu może prowadzić do znaczących błędówpoznawczych i wyboru mniej trafnych metod prognozowania zmienności (Hansen,Lunde 2006; Patton 2011). W przypadku dostępności dobrych jakościowo danychśróddziennych najlepszym rozwiązaniem jest zastosowanie nieparametrycznychmetod pomiaru zmienności skonstruowanych na podstawie danych o wysokiejczęstotliwości, takich jak zmienność zrealizowana (Andersen, Bollerslev 1998)i jej modyfikacje. Zakres cen oraz miary zbudowane na jego podstawie sąjednak mniej wrażliwe w porównaniu ze zmiennością zrealizowaną naniektóre efekty mikrostruktury rynku, związane na przykład z występowaniemspreadu bid-ask (np. Alizadeh, Brandt, Diebold 2002; Shu, Zhang 2006),dlatego mogą być wartościowym uzupełnieniem lub w wielu przypadkach -alternatywą.
Ceny minimalne i maksymalne mogą być również wykorzystanedo konstrukcji nieparametrycznych metod pomiaru zmienności skonstruowanychna podstawie danych o wysokiej częstotliwości, takich jak zrealizowanyzakres cen (Christensen, Podolskij 2007; Martens, van Dijk 2007). Ta tematykanie będzie jednak rozwijana w monogra?i, ponieważ jest ona poświęconametodom i modelom budowanym na podstawie danych dziennych. Cenyminimalne i maksymalne mogą być również rozpatrywane z punktuwidzenia teorii wartości ekstremalnych, znajdującej coraz powszechniejszezastosowanie w analizie ryzyka na rynkach finansowych. Wartości ekstremalnesą w tym przypadku rozumiane jednak szerzej, jako wartości, któreprzekraczają ustaloną wartość progową i nie ograniczają się do cenminimalnych i maksymalnych. Ta tematyka również nie będzie poruszanaw tej pracy.
Prezentowana monogra?a jest pierwszą publikacją w literaturze światowejpoświęconą modelom zmienności zakresu cen. Mimo wielu prac, jakie powstały natemat wykorzystania cen minimalnych i maksymalnych w analizie rynkówfinansowych, jedyną pracą przeglądową był dotychczas artykuł Raya Y. Chou,Heng-Chiha Chou i Nathana Liu (2009) wraz z jego późniejszym wznowieniem(Chou, Chou, Liu 2015). Modelom wielowymiarowym poświęcono w nim zaledwiejeden podpunkt, liczący niecałe dwie strony.
Głównymi celami pracy są:
1. Prezentacja oraz klasy?kacja jednowymiarowych i wielowymiarowych modeli zmienności skonstruowanych na podstawie cen minimalnych i maksymalnych.
2. Pokazanie na podstawie badań empirycznych, że zastosowanie kowariancji stóp zwrotu skonstruowanych na bazie zakresów cen do budowy wielowymiarowych modeli zmienności prowadzi do trafniejszych prognoz macierzy kowariancji oraz zwiększa efektywność alokacji aktywów w stosunku do modeli skonstruowanych na podstawie cen zamknięcia.
Dodatkowym wkładem do literatury jest porównanie wielowymiarowych modelizmienności zakresu cen z wielowymiarowymi modelami ko-zakresu cen, czyli modelami,w których zastosowano estymatory kowariancji skonstruowane na podstawiezakresu cen.
Monogra?a składa się z czterech rozdziałów. Rozdział pierwszy ma charakterwprowadzający w tematykę wykorzystania cen minimalnych i maksymalnychw modelowaniu finansowych szeregów czasowych. W podrozdziale 1.1 omówionowłasności rozstępu cen - najpierw dla procesu geometrycznego ruchu Browna,następnie dla empirycznych szeregów finansowych. Podrozdział 1.2 zostałpoświęcony najpopularniejszym estymatorom wariancji skonstruowanym napodstawie zakresu cen, tj. estymatorom Parkinsona, Garmana-Klassa orazRogersa-Satchella. W podrozdziale 1.3 zaprezentowano pozostałe estymatory, dobudowy których wykorzystano ceny minimalne i maksymalne. Podrozdział 1.4zawiera omówienie wyników najważniejszych badań dotyczących porównania własności estymatorów wariancji budowanych na podstawie zakresu cen.W ostatnim podrozdziale 1.5 dokonano podsumowania informacji na tematomówionych estymatorów wariancji.
W rozdziale drugim przedstawiono jednowymiarowe modele zmienności.W podrozdziale 2.1 omówiono klasyczny model GARCH konstruowany na baziestóp zwrotu wyznaczonych z cen zamknięcia. Model ten należy traktować jakobenchmark dla wszystkich modeli omawianych w dalszej części tego rozdziału.W podrozdziale 2.2 zaprezentowano wybrane proste jednowymiarowe metodystosowane tradycyjnie do opisu cen lub stóp zwrotu, które można równieżwykorzystać dodatkowo do badania zmienności. Zawarto też przegląd badańdotyczących takich modeli na rynkach finansowych. W podrozdziałach 2.3i 2.4 omówiono jednowymiarowe modele zmienności opisujące odpowiedniowarunkową wariancję stóp zwrotu oraz warunkowy zakres cen lub ich transformacje.Ze względu na to, że parametry tych modeli są estymowane w oparciu o innerodzaje danych, nie jest możliwe ich bezpośrednie porównanie. Rozdział2.5 zawiera modele, dla których ceny minimalne i maksymalne wykorzystywane sądo konstrukcji funkcji wiarygodności służącej do estymacji parametrów. Takiepodejście jest najbardziej zaawansowane metodologicznie. W ostatnimpodrozdziale 2.6 przedstawiono sugestie dotyczące wyboru modeli do badańempirycznych.
Rozdział trzeci poświęcono metodom wielowymiarowym. W podrozdziale3.1 przedstawiono podstawowe teoretyczne i empiryczne własności kowariancjiskonstruowanej na podstawie cen minimalnych i maksymalnych. Podrozdział3.2 zawiera omówienie estymatorów kowariancji opartych na zakresie cen.Prezentację modeli wielowymiarowych rozpoczęto od krótkiego przedstawieniaw podrozdziale 3.3 klasycznych modeli BEKK i DCC budowanych na podstawiestóp zwrotu wyznaczonych z cen zamknięcia. Modele te należy traktować jakobenchmarki dla modeli omawianych w dalszej części tego rozdziału. Podrozdział3.4 zawiera przegląd badań dotyczących wybranych wielowymiarowych metodz zastosowaniem cen minimalnych i maksymalnych stosowanych tradycyjnie doopisu zależności między cenami lub stopami zwrotu, które można równieżwykorzystać do analizy zmienności na rynkach finansowych. W podrozdziale3.5 przedstawiono wielowymiarowe modele zmienności, w których ceny minimalnei maksymalne wykorzystywane są do konstrukcji wariancji stóp zwrotu, natomiastw podrozdziale 3.6 zaprezentowano modele, w których ceny te są wykorzystywanedodatkowo bezpośrednio przy konstrukcji kowariancji stóp zwrotu. W ostatnimpodrozdziale 3.7 zawarto podsumowanie i sugestie dotyczące wyboru modeli dobadań empirycznych.
W rozdziale czwartym zbadano skuteczność siedmiu wybranychwielowymiarowych modeli GARCH, w tym czterech skonstruowanych na bazie cenminimalnych i maksymalnych, w analizie kursów walutowych na rynku Forex.W wybranej grupie modeli znalazły się trzy propozycje autora tej monogra?i.Badanie zostało przeprowadzone dla trzech kursów: euro, jena japońskiego i funta szterlinga względem dolara amerykańskiego. W podrozdziale 4.1 zbadanopodstawowe własności statystyczne analizowanych szeregów finansowych, w tymprzede wszystkim charakterystyki dotyczące różnych miar zmiennościi kowariancji, na podstawie których skonstruowane są modele zmienności.Podrozdział 4.2 poświęcony jest modelowaniu kursów walutowych. Zbadano,który z modeli najlepiej opisywał zarówno warunkowe macierze kowariancji, jaki warunkowe macierze korelacji stóp zwrotu. Ponadto analizowano, jak informacjao cenach minimalnych i maksymalnych, uwzględniona w budowie poszczególnychmodeli, wpływa na oceny parametrów modeli, a przez to na opisywaną przezte modele dynamikę warunkowych wariancji i kowariancji stóp zwrotu.W podrozdziale 4.3 zbadano trafność prognoz wariancji, kowariancji, a takżemacierzy kowariancji i korelacji stóp zwrotu budowanych na podstawierozważanych modeli zmienności. Wyodrębniono modele, dla których konstruujesię dokładniejsze prognozy. Podrozdział 4.4 został poświęcony analizie portfelowej.Dokonano oceny efektywności budowy portfeli skonstruowanych w oparciuo wybrane wielowymiarowe modele zmienności. Ocenę przeprowadzono dla dwóchkryteriów: oszacowanej ex post wariancji portfela oraz współczynnikaSharpe'a.
Prezentowana praca jest podsumowaniem siedmioletnich badań autorapoświęconych wykorzystaniu cen minimalnych i maksymalnych w modelowaniuprocesów finansowych. Analizy prowadzone były w ramach dwóch projektówbadawczych ?nansowanych przez Narodowe Centrum Nauki: projekt nr2012/05/B/HS4/00675 "Modelowanie i prognozowanie zmienności - wykorzystaniedodatkowych informacji o cenach minimalnych i maksymalnych" oraz projekt numernr 2016/21/B/HS4/00662 "Wielowymiarowe modele zmienności - wykorzystaniecen minimalnych i maksymalnych". Z drugiego źródła została s?nansowanapublikacja monogra?i.
Ceny minimalne i maksymalne, w przeciwieństwie do cen śróddziennych, sąna ogół dostępne razem z cenami zamknięcia, dlatego tematyka wykorzystania cenminimalnych i maksymalnych w analizie finansowych szeregów czasowych jestważna z praktycznego punktu widzenia. Omawiane metody mogą okazać sięużyteczne przy podejmowaniu decyzji o wyborze odpowiednich narzędzi doprognozowania, szacowania VaR, konstrukcji portfeli, wyceny instrumentówpochodnych czy szacowania współczynnika zabezpieczenia. Tematyka wykorzystaniacen minimalnych jest także ściśle związana z badaniami mikrostruktury rynkuoraz z efektem zarażania.
Szczególne podziękowania kieruję do recenzentów monogra?i - Pani prof. drhab. Małgorzaty Doman oraz Pana dr hab. Krzysztofa Piontka, prof. UE weWrocławiu, za bardzo wnikliwe uwagi, dzięki którym udało się wyeliminować wieleuchybień. Przedstawione w recenzjach pomocne komentarze miały znaczącywpływ na ostateczny kształt pracy. Za pozostałe niedoskonałości wyłącznąodpowiedzialność ponosi autor.
